I. PHÉP TỊNH TIẾN.
Nhắc lại khái niệm về phép tịnh tiến theo 
: Trong mặt phẳng, phép tịnh tiến theo là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho 
. Kí hiệu phép tịnh tiến theo là 
Ví dụ 1: Cho một lục giác ABCDEF có các cạnh đối diện song song với nhau và thỏa mãn BC – EF = ED – AB = AF – CD > 0. Chứng minh rằng các góc của lục giác ABCDEF bằng nhau.
Lời giải.
*Làm thế nào mà ta có thể khai thác được dữ kiện BC – EF = ED – AB = AF – CD > 0 mà đề bài đã cho ? Chúng ta sẽ thử di chuyển các cạnh của lục giác “lại gần nhau” xem sao !
Xét các phép tịnh tiến : 
Khi đó các tứ giác EFAP, ABCQ, CDER là hình bình hành.
Từ điều kiện giả thiết cho các cạnh đối diện của lục giác song song với nhau, P thuộc AQ, Q thuộc CR và R thuộc EP (dễ dàng chứng minh), ta có: BC – EF = AQ – AP = PQ.
Tương tự, ta có: ED – AB = QR và AF – CD = RP. Vậy 
là tam giác đều.
Suy ra các góc của bằng 
.
Suy ra 
. Tương tự, 
(đpcm).
Ví dụ 2: Cho tứ giác lồi ABCD với AD = BC. E, F tương ứng là trung điểm của CD, AB. Giả sử tia AD, FE giao nhau tại H và tia BC, FE giao nhau tại G. Chứng minh rằng 
Lời giải.
Xét phép tịnh tiến 
Khi đó BCAI hình bình hành. Từ giả thiết F là trung điểm của AB, suy ra F cũng là trung điểm của CI. Áp dụng định
lí về đường trung bình trong tam giác CDI, ta có EF // DI. Mặt khác CB // AI nên ta có 
Vì AD = BC = AI nên 
Mà EF // DI
(đpcm)
Ví dụ 3: Cho M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC của tứ giác ABCD. Hãy chứng minh rằng nếu 2MN = AB + CD thì AB // CD.
Lời giải.
Xét các phép tịnh tiến 
Khi đó ta có thể thấy CDME và BÀM là các hình bình hành. Vì 
nên BFCE là hình bình hành.
Mà N là trung điểm của BC nên N cũng là trung điểm của EF.
Tiếp theo, lấy 
, khi đó EMFK là hình bình hành, suy ra MK = 2MN = AB + CD = MF + EM = MF + FK.
Từ đó ta có F, M, K, N thẳng hàng và AB // MN. Tương tự, CD // MN, suy ra AB // CD
Trên mặt phẳng, phép quay tâm O góc quay 
, kí hiệu là 
là phép biến hình biến điểm O thành chính nó và biến điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM = OM’ và góc lượng giác
Ví dụ 1: Cho điểm P nằm trong tam giác đều ABC sao cho PC = 3, PA = 4 và PB = 5. Tìm chu vi của tam giác ABC.
Lời giải.
*Ta phải sử dụng phép biến hình nào để các cạnh của tam giác ABC biểu diễn được dưới dạng PC, PA, PB ?
Xét phép quay 
biến tam giác CBP thành tam giác CAQ, ta có:
+CP = CQ và 
suy ra là tam giác đều.
+AQ = BP = 5, AP= 4 và PQ = PC = 3, suy ra 
.
Vậy chu vi tam giác ABC là: 
Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu biến một đường thẳng AB thành đường thẳng thì 2 đường thẳng này cắt nhau tạo thành một góc .
Lời giải.
Gọi P là giao điểm của 2 đường thẳng AB và 
. Vì 
cùng thuộc một đường tròn. Suy ra ta có 
Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD. Điểm P, Q, M, N tương ứng thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho AP + AN + CQ + CM = 2. Chứng minh rằng 
Lời giải.
*Ý tưởng giải bài toán này là tìm phép biến hình để có thể sử dụng giả thiết AP + AN + CQ + CM = 2.
Xét phép quay biến
Khi đó 
Suy ra 
là hình bình hành và 
. Áp dụng ví dụ 2, vì hai đường thẳng 
giao nhau tạo thành góc , suy ra .
III.PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
Trong mặt phẳng, phép đối xứng trục 
, kí hiệu 
là phép biến hình biến mỗi điển M thành điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng . Hay đường thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng MM’.
Ví dụ 1: Cho một đường tròn có tâm O đi qua đỉnh A, C của tam giác ABC và cắt các cạnh AB, BC tương ứng tại K, N. Đường tròn ngoại tiếp tam giác KBN và đường tròn ngoại tiếp tam giác KBN tại B và M. Chứng ming rằng 
Lời giải.
Gọi L là đường thẳng qua O và vuông góc với BM. Ta có thể giải được bài toán khi chỉ ra được rằng điểm M nằm trên đường thẳng L.
Xét phép đối xứng trục L biến 
Khi đó 
, suy ra CC’, KK’, BM song song với nhau. Ta có:
Suy ra C’, K, M thẳng hàng. Mặt khác, ta có:
Từ đó suy ra C, K’, M thẳng hàng. Khi đó đường thẳng C’K và CK’ giao nhau tại M. Mặt khác, vì đường thẳng C’K và CK’ đối xứng nhay qua phép đối xứng trục L nên M thuộc đường thẳng L.
Ví dụ 2: Điểm D và E lần lượt thuộc cạnh AB, AC cuả tam giác ABC với 
. Tìm 
Lời giải:
Chú ý 
. Xét phép đối xứng qua đường trung trực của cạnh BC. Gọi ảnh của D là F và giao điểm của BD, CF là G. Từ BG = CG, đường thẳng BD và CF giao nhau tạo thành một góc . Vậy tam giác BGC và tam giác DGF là các tam giác đều , suy ra DF=DG.
Ta có: 
Mặt khác ta có 
Mà BGC là tam giác đều, suy ra BE = BC = BG. Khi đó:
.
Từ điều kiện trên, ta có: 
, từ đó suy ra 
